1952 AMC 12 Problema 22

Question

Sobre la hipotenusa

AB

de un triángulo rectángulo

ABC

se construye un segundo triángulo rectángulo

ABD

cuya hipotenusa es

AB.

Si

BC=1,

AC=b,

y

AD=2,

entonces

BD

es igual a:

On hypotenuse

AB

of a right triangle

ABC

a second right triangle

ABD

is constructed with hypotenuse

AB.

If

BC=1,

AC=b,

and

AD=2,

then

BD

equals:

\sqrt{b^2+1}

\sqrt{b^2-3}

\sqrt{b^2+1}+2

b^2+5

\sqrt{b^2+3}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Usa primero el triángulo

ABC

para expresar la hipotenusa común

AB

Use triangle

ABC

first to express the common hypotenuse

AB

Pista grande:

Luego aplica el teorema de Pitágoras al triángulo

ABD

, cuya hipotenusa es

AB

Then apply the Pythagorean theorem to triangle

ABD

, whose hypotenuse is

AB

Solución:

En el primer triángulo rectángulo,

AB^2=AC^2+BC^2=b^2+1.

En el segundo triángulo rectángulo,

AB

es la hipotenusa y

AD=2,

por lo que

\begin{aligned} BD^2&=AB^2-AD^2\\ &=b^2+1-4=b^2-3. \end{aligned}

Por lo tanto,

BD=\sqrt{b^2-3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the first right triangle,

AB^2=AC^2+BC^2=b^2+1.

In the second right triangle,

AB

is the hypotenuse and

AD=2,

so

\begin{aligned} BD^2&=AB^2-AD^2\\ &=b^2+1-4=b^2-3. \end{aligned}

Therefore

BD=\sqrt{b^2-3}.

Thus, the correct answer is B.