1989 AMC 12 Problema 25

Question

En cierta competencia de campo traviesa entre dos equipos de cinco corredores cada uno, quien termina en la posición

n

aporta

n

puntos a su equipo. Gana el equipo con la puntuación más baja. Si no hay empates entre los corredores, ¿cuántas puntuaciones ganadoras distintas son posibles?

In a certain cross-country meet between two teams of five runners each, a runner who finishes in the

n

th position contributes

n

to his team’s score. The team with the lower score wins. If there are no ties among the runners, how many different winning scores are possible?

10

13

27

120

126

Respuesta: B

Conceptos:subconjuntos argumento extremal enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Las puntuaciones de los dos equipos suman

1+2+\cdots+10

The two team scores add to

1+2+\cdots+10

Pista grande:

Determina la puntuación ganadora mínima y verifica que se puede obtener cada entero menor que la mitad del total

Determine the minimum winning score and verify that every integer below half the total is attainable

Solución:

Las dos puntuaciones suman

55,

así que la puntuación ganadora es a lo sumo

27.

Su mínimo es

1+2+3+4+5=15.

Cada puntuación del

15

al

20

se obtiene con

\{1,2,3,4,k\}

para

k=5,\ldots,10.

Las puntuaciones del

21

al

25

se obtienen con

\{1,2,3,k,10\}

para

k=5,\ldots,9,

y las puntuaciones

26,27

se obtienen con

\{1,2,4,9,10\}

y

\{1,2,5,9,10\}.

Por tanto, son posibles los

13

enteros del

15

al

27.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The two scores sum to

55,

so the winning score is at most

27.

Its minimum is

1+2+3+4+5=15.

Every score from

15

through

20

is obtained by

\{1,2,3,4,k\}

for

k=5,\ldots,10.

Scores

21

through

25

use

\{1,2,3,k,10\}

for

k=5,\ldots,9,

and

26,27

use

\{1,2,4,9,10\}

and

\{1,2,5,9,10\}.

Thus all

13

integers from

15

through

27

are possible.

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años