1989 AMC 12 Problema 24

Question

Cinco personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Sea

f\ge0

el número de personas sentadas junto a por lo menos una mujer y sea

m\ge0

el número de personas sentadas junto a por lo menos un hombre. El número de pares ordenados posibles

(f,m)

es

Five people are sitting at a round table. Let

f\ge0

be the number of people sitting next to at least one female and

m\ge0

be the number of people sitting next to at least one male. The number of possible ordered pairs

(f,m)

is

7

8

9

10

11

Clasifica las distribuciones según el número de mujeres

Classify arrangements by the number of females

Con dos mujeres, separa los casos en que están juntas y en que no son adyacentes; obtén los casos con tres mujeres por simetría

With two females, separate the adjacent and nonadjacent cases; obtain three-female cases by symmetry

Para

0,1,2

mujeres, los pares posibles son, respectivamente,

\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned}

donde los dos casos con dos mujeres distinguen si están juntas o no son adyacentes. Al intercambiar los sexos se obtiene

\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned}

Estos son

8

pares ordenados distintos.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For

0,1,2

females, the possible pairs are respectively

\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned}

where the two-female cases distinguish adjacent from nonadjacent females. Swapping the sexes gives

\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned}

These are

8

distinct ordered pairs.

Thus the correct answer is B.

El Problema 24 en otros años