1989 AMC 12 Problema 23

Question

Una partícula se mueve por el primer cuadrante de la siguiente manera. Durante el primer minuto se desplaza desde el origen hasta

(1,0).

Después sigue las direcciones indicadas en la figura, yendo de un lado a otro entre los semiejes positivos

x

e

y

, y en cada minuto recorre una unidad de distancia paralela a un eje. ¿En qué punto estará la partícula después de exactamente

1989

minutos?

A particle moves through the first quadrant as follows. During the first minute it moves from the origin to

(1,0).

Thereafter, it continues to follow the directions indicated in the figure, going back and forth between the positive

x

and

y

axes, moving one unit of distance parallel to an axis in each minute. At which point will the particle be after exactly

1989

minutes?

(35,44)

(36,45)

(37,45)

(44,35)

(45,36)

Respuesta: D

Conceptos:simulación de procesos reconocimiento de patrones cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Anota la posición de la partícula en los tiempos

1,4,9,16,\ldots

Record the particle’s location at times

1,4,9,16,\ldots

Pista grande:

Compara

1989

con los cuadrados consecutivos

44^2

y

45^2

Compare

1989

with the consecutive squares

44^2

and

45^2

Solución:

En el tiempo

n^2,

la partícula está en

(n,0)

si

n

es impar y en

(0,n)

si

n

es par. Por tanto, en el tiempo

44^2=1936

está en

(0,44).

Luego se mueve

44

unidades hacia la derecha, llega a

(44,44)

en el tiempo

1980,

y se desplaza hacia abajo durante los siguientes

9

minutos. Por consiguiente, en el tiempo

1989

está en

(44,35).

Por tanto, la respuesta correcta es D.

At time

n^2,

the particle is at

(n,0)

for odd

n

and at

(0,n)

for even

n.

Thus at time

44^2=1936

it is at

(0,44).

It then moves

44

units right, reaching

(44,44)

at time

1980,

and moves downward for the next

9

minutes. At time

1989

it is therefore at

(44,35).

Thus the correct answer is D.