1989 AMC 12 Problema 8

Question

¿Para cuántos enteros

n

entre

1

y

100

se factoriza

x^2+x-n

como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?

For how many integers

n

between

1

and

100

does

x^2+x-n

factor into the product of two linear factors with integer coefficients?

0

1

2

9

10

Respuesta: D

Conceptos:factorización conteo de enteros en un rango cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe los factores como

(x-r)(x+s)

con enteros positivos

r,s

Write the factors as

(x-r)(x+s)

with positive integers

r,s

Pista grande:

El coeficiente de

x

obliga a que los parámetros difieran en

1

The coefficient of

x

forces the two integer parameters to differ by

1

Solución:

La factorización debe ser

(x-k)(x+k+1)

para algún entero positivo

k.

Al desarrollar se obtiene

x^2+x-k(k+1),

así que

n=k(k+1).

Los valores

k=1,2,\ldots,9

dan

n\le100,

mientras que

10\cdot11\gt100.

Hay

9

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer factorization must have the form

(x-k)(x+k+1)

for some positive integer

k.

Expanding gives

x^2+x-k(k+1),

so

n=k(k+1).

The values

k=1,2,\ldots,9

give

n\le100,

while

10\cdot11\gt100.

There are

9

values.

Thus the correct answer is D.