1990 AMC 12 Problema 5

Question

¿Cuál de estos números es el mayor?

Which of these numbers is largest?

\sqrt{\sqrt[3]{5\cdot6}}

\sqrt{6\sqrt[3]5}

\sqrt{5\sqrt[3]6}

\sqrt[3]{5\sqrt6}

\sqrt[3]{6\sqrt5}

Todas las opciones son positivas; eleva cada una a la sexta potencia

Every choice is positive, so raise each one to the sixth power

Expresa cada sexta potencia como

5^a6^b

Express each sixth power as

5^a6^b

Elevar las cinco opciones positivas a la sexta potencia conserva su orden y da, respectivamente,

\begin{aligned} 30,\qquad &6^3\cdot5=1080,\\ 5^3\cdot6&=750,\\ 5^2\cdot6&=150,\qquad 6^2\cdot5=180. \end{aligned}

La segunda es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Raising the five positive choices to the sixth power preserves their order and gives, respectively,

\begin{aligned} 30,\qquad &6^3\cdot5=1080,\\ 5^3\cdot6&=750,\\ 5^2\cdot6&=150,\qquad 6^2\cdot5=180. \end{aligned}

The largest is the second.

Thus the correct answer is B.

El Problema 5 en otros años