1991 AMC 12 Problema 26

Question

Un entero positivo de

n

cifras es bonito si sus

n

cifras son una permutación del conjunto

\{1,2,\ldots,n\}

y sus primeras

k

cifras forman un entero divisible entre

k,

para

k=1,

2,

\ldots,

n.

Por ejemplo,

321

es un entero bonito de

3

cifras porque

1

divide a

3,

2

divide a

32,

y

3

divide a

321.

¿Cuántos enteros bonitos de

6

cifras hay?

An

n

-digit positive integer is cute if its

n

digits are an arrangement of the set

\{1,2,\ldots,n\}

and its first

k

digits form an integer that is divisible by

k,

for

k=1,

2,

\ldots,

n.

For example,

321

is a cute

3

-digit integer because

1

divides

3,

2

divides

32,

and

3

divides

321.

How many cute

6

-digit integers are there?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad permutaciones case analysis

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La segunda cifra debe ser par, la suma de las tres primeras debe ser divisible entre

3,

y el prefijo de cuatro cifras debe ser divisible entre

4

The second digit must be even, the third-prefix digit sum must be divisible by

3,

and the fourth prefix must be divisible by

4

Pista grande:

La quinta cifra debe ser

5,

y el número completo debe ser par y divisible entre

3

The fifth digit must be

5,

and the full number must be even and divisible by

3

Solución:

La divisibilidad entre

5

obliga a que la quinta cifra sea

5.

La divisibilidad entre

2

y

6

obliga a que la segunda y la sexta cifra sean pares. Aplica ahora sucesivamente las pruebas de divisibilidad: la suma de las primeras tres cifras debe ser divisible entre

3,

y el número de dos cifras formado por la tercera y la cuarta debe ser divisible entre

4.

Al revisar las opciones restantes de

\{1,2,3,4,6\}

, quedan

123654

y

321654.

Cada número satisface directamente las seis condiciones de divisibilidad de prefijos, así que hay

2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Divisibility by

5

forces the fifth digit to be

5.

Divisibility by

2

and

6

forces the second and sixth digits to be even. Now apply the divisibility tests successively: the first three digits must have sum divisible by

3,

and the two-digit number formed by the third and fourth digits must be divisible by

4.

Checking the remaining choices from

\{1,2,3,4,6\}

leaves

123654

and

321654.

Each number directly satisfies all six prefix divisibility conditions, so there are

2.

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años