1997 AMC 12 Problema 26

Question

Se dan el triángulo

ABC

y el punto

P

en el mismo plano. El punto

P

equidista de

A

y

B,

el ángulo

APB

es el doble del ángulo

ACB,

y

\overline{AC}

interseca

\overline{BP}

en el punto

D.

Si

PB=3

y

PD=2,

entonces

AD\cdot CD=

Triangle

ABC

and point

P

in the same plane are given. Point

P

is equidistant from

A

and

B,

angle

APB

is twice angle

ACB,

and

\overline{AC}

intersects

\overline{BP}

at point

D.

If

PB=3

and

PD=2,

then

AD\cdot CD=

5

6

7

8

9

Respuesta: A

Conceptos:circles potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Traza el círculo con centro

P

que pasa por

A

y

B

Draw the circle centered at

P

through

A

and

B

Pista grande:

La condición sobre el ángulo central sitúa a

C

en ese círculo; aplica entonces el teorema de las cuerdas que se intersecan en

D

The central-angle condition puts

C

on that circle, so apply intersecting chords at

D

Solución:

Como

PA=PB,

se traza el círculo con centro

P

que pasa por ambos puntos. La condición

\angle APB=2\angle ACB

es la relación entre un ángulo central y uno inscrito, por lo que

C

pertenece al mismo círculo. Sobre la recta

PB,

la otra intersección con el círculo es

E

, con

PE=3.

La potencia de

D

da

\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Because

PA=PB,

draw their circle with center

P.

The condition

\angle APB=2\angle ACB

is the central-inscribed angle relation, so

C

lies on the same circle. Along line

PB,

the other circle intersection is

E

with

PE=3.

Power of

D

gives

\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}

Thus A is correct.