1965 AMC 12 第 27 题

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27.

用 y−1y-1 除 y2+my+2y^2+my+2,商为 f(y)f(y),余数为 R1R_1。 用 y+1y+1 除 y2+my+2y^2+my+2,商为 g(y)g(y),余数为 R2R_2。 若 R1=R2R_1=R_2, 则 mm 为:
When y2+my+2y^2+my+2 is divided by y−1y-1 the quotient is f(y)f(y) and the remainder is R1.R_1. When y2+my+2y^2+my+2 is divided by y+1y+1 the quotient is g(y)g(y) and the remainder is R2.R_2. If R1=R2,R_1=R_2, then mm is:
00
11
22
−1-1
一个无法确定的常数
an undetermined constant
答案:A
知识点:多项式换元法一次方程
小提示:
在 y=1y=1 和 y=−1y=-1 处应用余式定理
Use the remainder theorem at y=1y=1 and y=−1y=-1
大提示:
令 m+3=3−mm+3=3-m
Set m+3=3−mm+3=3-m
解答:
由余式定理得 R1=1+m+2=m+3R_1=1+m+2=m+3,且 R2=1−m+2=3−mR_2=1-m+2=3-m。 两者相等可得 m=0m=0。
因此,正确答案是 A。
The remainder theorem gives R1=1+m+2=m+3R_1=1+m+2=m+3 and R2=1−m+2=3−m.R_2=1-m+2=3-m. Equality implies m=0.m=0.
Therefore, the correct answer is A.
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