1973 AMC 12 Problema 27

Question

Los automóviles

A

y

B

recorren la misma distancia. El automóvil

A

recorre la mitad de esa distancia a

u

millas por hora y la otra mitad a

v

millas por hora. El automóvil

B

viaja la mitad del tiempo a

u

millas por hora y la otra mitad a

v

millas por hora. La rapidez promedio de

A

es

x

millas por hora y la de

B

es

y

millas por hora. Entonces siempre se cumple

Cars

A

and

B

travel the same distance. Car

A

travels half that distance at

u

miles per hour and half at

v

miles per hour. Car

B

travels half the time at

u

miles per hour and half at

v

miles per hour. The average speed of Car

A

is

x

miles per hour and that of Car

B

is

y

miles per hour. Then we always have

x\le y

x\ge y

x=y

x\lt y

x\gt y

Respuesta: A

Conceptos:media armónica desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El promedio del automóvil

A

es la media armónica de

u

y

v,

mientras que el del automóvil

B

es su media aritmética

Car

A

’s average is the harmonic mean of

u

and

v,

while Car

B

’s is their arithmetic mean

Pista grande:

Resta las dos medias y factoriza el numerador como un cuadrado

Subtract the two means and factor the numerator as a square

Solución:

El promedio por distancias iguales del automóvil

A

y el promedio por tiempos iguales del automóvil

B

son

x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.

Su diferencia es

\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}

Así,

x\le y,

con igualdad posible cuando

u=v.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Car

A

’s equal-distance average and Car

B

’s equal-time average are

x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.

Their difference is

\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}

Thus

x\le y,

with equality possible when

u=v.

Therefore, the correct answer is A.