1973 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

[t]

el mayor entero que no excede a

t,

donde

t\ge0,

y

\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}

Entonces se cumple

Let

[t]

denote the greatest integer not exceeding

t,

where

t\ge0,

and

\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}

Then we have

el punto

(0,0)

no pertenece a

S

para ningún

t

the point

(0,0)

does not belong to

S

for any

t

0\le\operatorname{Area} S\le\pi

para todo

t

0\le\operatorname{Area} S\le\pi

for all

t

S

está contenido en el primer cuadrante para todo

t\ge5

S

is contained in the first quadrant for all

t\ge5

el centro de

S

para cualquier

t

está en la recta

y=x

the center of

S

for any

t

is on the line

y=x

ninguna de las otras afirmaciones es verdadera

none of the other statements is true

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo círculo área geometría analítica

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reconoce

T=t-[t]

como la parte fraccionaria de

t

Recognize

T=t-[t]

as the fractional part of

t

Pista grande:

Interpreta la ecuación de

S

como un disco e identifica su centro y su radio

Interpret the equation for

S

as a disk and identify its center and radius

Solución:

La parte fraccionaria satisface

0\le T\lt1.

El conjunto

S

es el disco cerrado de centro

(T,0)

y radio

T.

Su área es

\pi T^2,

así que

0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,

lo cual en particular da

0\le\operatorname{Area}S\le\pi.

El origen pertenece a todos esos discos, el disco se extiende por debajo del eje

x

cuando

T\gt0,

y su centro en general no está sobre

y=x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The fractional part satisfies

0\le T\lt1.

The set

S

is the closed disk centered at

(T,0)

with radius

T.

Its area is

\pi T^2,

so

0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,

which in particular gives

0\le\operatorname{Area}S\le\pi.

The origin lies on every such disk, the disk extends below the

x

-axis when

T\gt0,

and its center is generally not on

y=x.

Therefore, the correct answer is B.