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1976 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

有多少个不同的有序三元组

(x,y,z)

满足方程组

\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6 \end{aligned}\text{？}

How many distinct ordered triples

(x,y,z)

satisfy the equations

\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}

没有

none

1

2

4

6

答案：E

知识点：对称性（代数）韦达定理排列

难度评级：2320

小提示：

令

x=2u

、

y=v

和

z=\frac{w}{2}

，对变量作缩放

Rescale the variables by setting

x=2u,

y=v,

and

z=\frac{w}{2}

大提示：

新变量的三个基本对称和分别为

6

、

11

、

6

The new variables have elementary symmetric sums

6,

11,

and

6

解答：

令

x=2u

、

y=v

和

z=\frac{w}{2}

。前两个方程都除以

2

，得

\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11 \end{aligned}\text{，}

而

uvw=6

。因此

u

、

v

、

w

是多项式

p(t)=t^3-6t^2+11t-6

的三个根。该多项式分解为

p(t)=(t-1)(t-2)(t-3)\text{，}

所以这三个数是按任意顺序排列的

1

、

2

、

3

。它们的

3!=6

种排列产生

6

个不同的有序三元组

(x,y,z)

。

所以正确答案是 E。

Set

x=2u,

y=v,

and

z=\frac{w}{2}.

Dividing the first two equations by

2

gives

\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}

while

uvw=6.

Thus

u,

v,

and

w

are the three roots of

p(t)=t^3-6t^2+11t-6.

This polynomial factors as

p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),

so they are

1,

2,

and

3

in any order. Their

3!=6

permutations produce

6

distinct ordered triples

(x,y,z).

Therefore, the correct answer is E.