1976 AMC 12 Problema 30

Question

¿Cuántas ternas ordenadas distintas

(x,y,z)

satisfacen las ecuaciones

\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}

How many distinct ordered triples

(x,y,z)

satisfy the equations

\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}

ninguna

none

1

2

4

6

Respuesta: E

Conceptos:simetría (álgebra)Fórmulas de Vieta permutaciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Reescala las variables tomando

x=2u,

y=v,

y

z=\frac{w}{2}

Rescale the variables by setting

x=2u,

y=v,

and

z=\frac{w}{2}

Pista grande:

Las nuevas variables tienen sumas simétricas elementales

6,

11,

y

6

The new variables have elementary symmetric sums

6,

11,

and

6

Solución:

Toma

x=2u,

y=v,

y

z=\frac{w}{2}.

Al dividir las dos primeras ecuaciones por

2

, se obtiene

\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}

mientras que

uvw=6.

Por tanto,

u,

v,

y

w

son las tres raíces de

p(t)=t^3-6t^2+11t-6.

Este polinomio se factoriza como

p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),

de modo que son

1,

2,

y

3

en cualquier orden. Sus

3!=6

permutaciones producen

6

ternas ordenadas distintas

(x,y,z).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set

x=2u,

y=v,

and

z=\frac{w}{2}.

Dividing the first two equations by

2

gives

\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}

while

uvw=6.

Thus

u,

v,

and

w

are the three roots of

p(t)=t^3-6t^2+11t-6.

This polynomial factors as

p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),

so they are

1,

2,

and

3

in any order. Their

3!=6

permutations produce

6

distinct ordered triples

(x,y,z).

Therefore, the correct answer is E.