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1977 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

设

f(x)

是实变量

x

的实值函数，且

f(x)

不恒为零。若对所有

a

和

b

，都有

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b) \end{gathered}\text{，}

则对所有

x

和

y

If

f(x)

is a real-valued function of the real variable

x,

and

f(x)

is not identically zero, and for all

a

and

b

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}

then for all

x

and

y

f(0)=1

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

f(x+y)=f(x)+f(y)

存在正数

T

，使得

f(x+T)=f(x)

there is a positive number

T

such that

f(x+T)=f(x)

答案：C

知识点：函数方程函数换元法

难度评级：1710

小提示：

先代入

a=b=0

First substitute

a=b=0

大提示：

再令

a=0

且

b=x

Next set

a=0

and

b=x

解答：

令

a=b=0

，得到

2f(0)=4f(0)

，所以

f(0)=0

。现在令

a=0

且

b=x

，方程变为

\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x) \end{aligned}\text{，}

因此对每个实数

x

，都有

f(-x)=f(x)

。

因此，正确答案是 C。

Setting

a=b=0

gives

2f(0)=4f(0),

so

f(0)=0.

Now set

a=0

and

b=x.

The equation becomes

\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}

and hence

f(-x)=f(x)

for every real

x.

Therefore, the correct answer is C.

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