1979 AMC 12 第 17 题

Question

互不相同的点

A

、

B

、

C

和

D

按此顺序位于同一直线上。线段

AB

、

AC

和

AD

的长度分别为

x

、

y

和

z

。若线段

AB

与

CD

可分别绕点

B

与

C

旋转，使点

A

与

D

重合并形成一个面积为正的三角形，则下列三个不等式中哪些必须成立？

\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

Points

A,

B,

C,

and

D

are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments

AB,

AC,

and

AD

have lengths

x,

y,

and

z,

respectively. If line segments

AB

and

CD

may be rotated about points

B

and

C,

respectively, so that points

A

and

D

coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied?

\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

仅

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

仅

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

仅

\mathrm{I}

和

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

仅

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

\mathrm{I}

、

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

答案：C

知识点：三角不等式分类讨论逻辑推理

难度评级：2040

小提示：

旋转后，找出新三角形三条边的长度

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

大提示：

对

x

、

y-x

和

z-y

应用三个严格的三角形不等式

Apply all three strict triangle inequalities to

x,

y-x,

and

z-y

解答：

新三角形的三条边长为

x

、

y-x

和

z-y

。由三角形不等式，

\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2} \end{aligned}\text{。}

因此，I 与 II 必须成立，而 III 必须不成立。

因此，正确答案是 C。

The new triangle has side lengths

x,

y-x,

and

z-y.

Its triangle inequalities give

\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}

Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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