1979 AMC 12 Problema 27

Question

Se elige al azar un par ordenado

(b,c)

de enteros, cada uno con valor absoluto menor o igual que cinco, y todos esos pares ordenados tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación

x^2+bx+c=0

no tenga raíces reales positivas distintas?

An ordered pair

(b,c)

of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation

x^2+bx+c=0

will not have distinct positive real roots?

\frac{106}{121}

\frac{108}{121}

\frac{110}{121}

\frac{112}{121}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática probabilidad complementaria enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Tener raíces positivas distintas exige

b\lt0,

c\gt0,

y

b^2\gt4c

Distinct positive roots require

b\lt0,

c\gt0,

and

b^2\gt4c

Pista grande:

Cuenta los valores admisibles de

c

para

b=-1,

b=-2,

\ldots,

b=-5,

y luego toma el complemento entre los

121

pares

Count the qualifying

c

values for each

b=-1,

b=-2,

\ldots,

b=-5,

then take the complement among

121

pairs

Solución:

Hay

11^2=121

pares ordenados. Tener raíces positivas distintas exige

b\lt0,

c\gt0,

y

b^2\gt4c.

Para

b=-1

y

b=-2

no hay opciones; para

b=-3,

b=-4,

y

b=-5

hay, respectivamente,

2,

3,

y

5

opciones de

c.

Así, solo

10

pares producen raíces positivas distintas, por lo que la probabilidad pedida es

1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},

que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are

11^2=121

ordered pairs. Distinct positive roots require

b\lt0,

c\gt0,

and

b^2\gt4c.

For

b=-1

and

b=-2

there are no choices; for

b=-3,

b=-4,

and

b=-5

there are respectively

2,

3,

and

5

choices of

c.

Thus only

10

pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is

1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},

which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.