1981 AMC 12 第 22 题

Question

在三维直角坐标系中，有多少条直线经过四个不同的形如

(i,j,k)

的点，其中

i

、

j

、

k

都是不超过四的正整数？

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form

(i,j,k),

where

i,

j,

and

k

are positive integers not exceeding four?

60

64

72

76

100

答案：D

知识点：立体几何格点基本计数

难度评级：2040

小提示：

在这个

4

乘

4

乘

4

网格中，四个共线格点的各坐标步长必须为

0

或

\pm1

Four collinear lattice points in this

4

-by-

4

-by-

4

grid must advance by coordinate steps

0

or

\pm1

大提示：

分别数出平行于坐标轴的直线、面对角线和空间对角线

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

解答：

平行于坐标轴的直线有

3\cdot4^2=48

条。对于沿面对角线的方向，先用

3

种方法选择两个变化的坐标，再选择

2

种对角线斜率之一，并用

4

种方法固定剩余坐标，共有

3\cdot2\cdot4=24

条。最后，立方体有

4

条空间对角线。因此总数为

48+24+4=76

。

所以正确答案是 D。

There are

3\cdot4^2=48

axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in

3

ways, choose one of

2

diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in

4

ways, giving

3\cdot2\cdot4=24.

Finally, the cube has

4

space diagonals. Thus the total is

48+24+4=76.

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 22 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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