1981 AMC 12 第 30 题

Question

若

a

、

b

、

c

、

d

是方程

x^4-bx-3=0

的解，则一个以

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

为全部解的方程是

If

a,

b,

c,

d

are the solutions of the equation

x^4-bx-3=0,

then an equation whose solutions are

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

is

3x^4+bx+1=0

3x^4-bx+1=0

3x^4+bx^3-1=0

3x^4-bx^3-1=0

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：多项式韦达定理换元法

难度评级：2170

小提示：

利用缺少三次项这一点求

a+b+c+d

Use the missing cubic term to find

a+b+c+d

大提示：

所列的每个表达式都会变成一个原方程根的负倒数

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

解答：

韦达定理给出

a+b+c+d=0

。例如，

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d\text{，}

类似地，新方程的根为

-\frac{1}{a}

、

-\frac{1}{b}

、

-\frac{1}{c}

、

-\frac{1}{d}

。令

x=-\frac{1}{r}

，并代入

r^4-br-3=0

。两边乘以

x^4

，得到

1+bx^3-3x^4=0

，即

3x^4-bx^3-1=0\text{。}

所以正确答案是 D。

Vieta’s formulas give

a+b+c+d=0.

Thus, for example,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

and similarly the new roots are

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Put

x=-\frac{1}{r}

in

r^4-br-3=0.

Multiplying by

x^4

gives

1+bx^3-3x^4=0,

or

3x^4-bx^3-1=0.

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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