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1983 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

若

xy=a

、

xz=b

、

yz=c

，且这些量都不为

0

，则

x^2+y^2+z^2

等于

If

xy=a,

xz=b,

and

yz=c,

and none of these quantities is

0,

then

x^2+y^2+z^2

equals

\frac{ab+ac+bc}{abc}

\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}

\frac{(a+b+c)^2}{abc}

\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}

\frac{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2}{abc}

答案：E

知识点：方程组代数变形

难度评级：1730

小提示：

将

xy=a

、

xz=b

、

yz=c

中的两个等式相乘，再除以第三个

Multiply two of

xy=a,

xz=b,

and

yz=c,

then divide by the third

大提示：

利用

x^2=\frac{ab}{c}

、

y^2=\frac{ac}{b}

、

z^2=\frac{bc}{a}

Use

x^2=\frac{ab}{c},

y^2=\frac{ac}{b},

and

z^2=\frac{bc}{a}

解答：

由三个乘积可得

\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a} \end{aligned}\text{。}

将它们的和通分到分母

abc

，得到

\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

From the three products,

\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned}

Putting their sum over denominator

abc

gives

\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

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