1984 AMC 12 第 13 题

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13.

262+3+5\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} 等于
262+3+5\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} equals
2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
4−2−34-\sqrt2-\sqrt3
2+3+6−5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6-5
12(2+5−3)\frac12(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt3)
13(3+5−2)\frac13(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)
答案:A
知识点:根式分母有理化代数变形
小提示:
将分母中的前两个根式组合起来
Group the first two radicals in the denominator
大提示:
将 2+3+5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 乘以 2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
Multiply 2+3+5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 by 2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
解答:
注意 (2+3+5)⋅(2+3−5)=(2+3)2−5=26。 \begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6 \end{aligned}\text{。}因此,该商为 2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5。
所以正确答案是 A。
Observe that (2+3+5)⋅(2+3−5)=(2+3)2−5=26. \begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned} Hence the quotient is 2+3−5.\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.
Therefore, the correct answer is A.
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