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1984 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

对任意复数

w=a+bi

，将

|w|

定义为实数

\sqrt{a^2+b^2}

。若

w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ

，则

|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}

等于

For any complex number

w=a+bi,

|w|

is defined to be the real number

\sqrt{a^2+b^2}.

If

w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,

then

|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}

equals

\frac19\sin40^\circ

\frac29\sin20^\circ

\frac19\cos40^\circ

\frac1{18}\cos20^\circ

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：复数单位根差比数列

难度评级：2460

小提示：

令

S=w+2w^2+\cdots+9w^9

，再把

wS

从

S

中减去

Let

S=w+2w^2+\cdots+9w^9

and subtract

wS

from

S

大提示：

使用

w^9=1

和

|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})

Use

w^9=1

and

|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})

解答：

令

S=\sum_{k=1}^9kw^k

。由于

w^9=1

，且

w^{10}=w

，

\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w \end{aligned}\text{。}

所以

|S|=\frac{9}{|1-w|}

，这是因为

|w|=1

。因此

|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ\text{。}

所以正确答案是 B。

Let

S=\sum_{k=1}^9kw^k.

Since

w^9=1

and

w^{10}=w,

\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}

Therefore

|S|=\frac{9}{|1-w|},

because

|w|=1.

Thus

|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.

Therefore, the correct answer is B.