1984 AMC 12 Problema 30

Question

Para cualquier número complejo

w=a+bi,

se define

|w|

como el número real

\sqrt{a^2+b^2}.

Si

w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,

entonces

|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}

es igual a

For any complex number

w=a+bi,

|w|

is defined to be the real number

\sqrt{a^2+b^2}.

If

w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,

then

|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}

equals

\frac19\sin40^\circ

\frac29\sin20^\circ

\frac19\cos40^\circ

\frac1{18}\cos20^\circ

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:número complejo raíces de la unidad serie aritmético-geométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Sea

S=w+2w^2+\cdots+9w^9

y resta

wS

de

S

Let

S=w+2w^2+\cdots+9w^9

and subtract

wS

from

S

Pista grande:

Usa

w^9=1

y

|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})

Use

w^9=1

and

|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})

Solución:

Sea

S=\sum_{k=1}^9kw^k.

Como

w^9=1

y

w^{10}=w,

\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}

Por lo tanto,

|S|=\frac{9}{|1-w|},

porque

|w|=1.

Así,

|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

S=\sum_{k=1}^9kw^k.

Since

w^9=1

and

w^{10}=w,

\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}

Therefore

|S|=\frac{9}{|1-w|},

because

|w|=1.

Thus

|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.

Therefore, the correct answer is B.