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1989 AMC 12 第 4 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

4.

图中，

ABCD

是等腰梯形，边长满足

AD=BC=5

、

AB=4

、

DC=10

。点

C

在

\overline{DF}

上，

B

是斜边

\overline{DE}

的中点，而这条斜边属于直角三角形

DEF

。则

CF=

In the figure,

ABCD

is an isosceles trapezoid with side lengths

AD=BC=5,

AB=4,

and

DC=10.

The point

C

is on

\overline{DF}

and

B

is the midpoint of hypotenuse

\overline{DE}

in the right triangle

DEF.

Then

CF=

3.25

3.5

3.75

4.0

4.25

答案：D

知识点：梯形中点相似

难度评级：1600

小提示：

从

A

和

B

向

\overline{DF}

作垂线

Drop perpendiculars from

A

and

B

to

\overline{DF}

大提示：

经过中点

B

且平行于

EF

的线段到达

DF

的中点

The segment through midpoint

B

parallel to

EF

reaches the midpoint of

DF

解答：

作垂线

AG

和

BH

，它们都垂直于

DF

。在等腰梯形中，

GH=AB=4

，且

DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3\text{。}

由于

B

是

DE

的中点且

BH\parallel EF

，中点定理说明

H

是

DF

的中点。因此

DH=DG+GH=7

，故

DF=14

，且

CF=14-10=4

。

所以正确答案是 D。

Drop perpendiculars

AG

and

BH

to

DF.

In the isosceles trapezoid,

GH=AB=4

and

DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3.

Since

B

is the midpoint of

DE

and

BH\parallel EF,

the midpoint theorem makes

H

the midpoint of

DF.

Hence

DH=DG+GH=7,

so

DF=14

and

CF=14-10=4.

Thus the correct answer is D.

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