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1990 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

若

R_n=\frac12(a^n+b^n)

，其中

a=3+2\sqrt2

、

b=3-2\sqrt2

，且

n=0

、

1

、

2

、

\ldots

，则

R_{12345}

是整数。它的个位数字为

If

R_n=\frac12(a^n+b^n),

where

a=3+2\sqrt2,

b=3-2\sqrt2,

and

n=0,

1,

2,

\ldots,

then

R_{12345}

is an integer. Its units digit is

1

3

5

7

9

答案：E

知识点：recurrence 模运算 conjugates

难度评级：2260

小提示：

利用

a+b=6

和

ab=1

，求出

R_n

的递推关系

Use

a+b=6

and

ab=1

to obtain a recurrence for

R_n

大提示：

对

10

取模计算该递推关系，并寻找一个较短的周期

Compute the recurrence modulo

10

and look for a short period

解答：

因为

a,b

是方程

t^2-6t+1=0

的根，

R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}\text{。}

从

R_0=1,\ R_1=3

开始，个位数字依次为

1,3,7,9,7,3,1,\ldots\text{，}

周期为

6

。因为

12345\equiv3\pmod6

，所求个位数字与

R_3

的个位数字相同，即

9

。

所以正确答案是 E。

Because

a,b

are roots of

t^2-6t+1=0,

R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.

Starting with

R_0=1,\ R_1=3,

the units digits are

1,3,7,9,7,3,1,\ldots,

with period

6.

Since

12345\equiv3\pmod6,

the units digit is the same as that of

R_3,

namely

9.

Thus the correct answer is E.