1991 AMC 12 第 17 题

Question

若把正整数

N

的数字顺序倒转后所得整数仍等于

N

，则称

N

为回文数。本世纪只有

1991

年同时具有以下两个性质：

(a) 它是回文数。

(b) 它可以分解为一个

2

位回文质数与一个

3

位回文质数的乘积。

从

1000

年到

2000

年的这一千年间（包括

1991

年），共有多少个年份具有性质 (a) 和 (b)？

A positive integer

N

is a palindrome if the integer obtained by reversing the sequence of digits of

N

is equal to

N.

The year

1991

is the only year in the current century with the following two properties:

(a) It is a palindrome.

(b) It factors as a product of a

2

-digit prime palindrome and a

3

-digit prime palindrome.

How many years in the millennium between

1000

and

2000

(including the year

1991

) have properties (a) and (b)?

1

2

3

4

5

答案：D

知识点：回文数质因数分解整除性

难度评级：1880

小提示：

从

1000

到

2000

的每个四位回文数都形如

1dd1

Every four-digit palindrome from

1000

to

2000

has the form

1dd1

大提示：

把

1dd1

分解为

11(91+10d)

，再检验三位因数何时为质数

Factor

1dd1

as

11(91+10d)

and test when the three-digit factor is prime

解答：

区间内的回文数形如

1dd1

，其中

d

是一个数字。代数上，

\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d) \end{aligned}\text{。}

因此，两位回文质数只能是

11

，且

91+10d

必须是一个三位回文质数。当

d=0,1,\ldots,9

时，

d=1,4,6,9

给出质数

101,131,151,181

。所以共有

4

个年份。

因此正确答案为 D。

The palindromes in the interval are

1dd1,

where

d

is a digit. Algebraically,

\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}

The two-digit prime palindrome must therefore be

11,

and

91+10d

must be a three-digit prime palindrome. For

d=0,1,\ldots,9,

the prime values occur for

d=1,4,6,9,

giving

101,131,151,181.

Thus there are

4

years.

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题