1991 AMC 12 第 22 题

Question

两个圆外切。直线

PAB

和

PA'B'

是公切线，其中

A

和

A'

在小圆上，

B

和

B'

在大圆上。若

PA=AB=4

，则小圆的面积为

Two circles are externally tangent. Lines

PAB

and

PA'B'

are common tangents with

A

and

A'

on the smaller circle and

B

and

B'

on the larger circle. If

PA=AB=4,

then the area of the smaller circle is

1.44\pi

2\pi

2.56\pi

\sqrt8\pi

4\pi

答案：B

知识点：相切圆位似圆幂

难度评级：2160

小提示：

两个圆通过以

P

为中心的位似相互对应

The two circles are related by a dilation centered at

P

大提示：

利用

PA=4

、

PB=8

求位似比，再对小圆应用切线长度关系

Use

PA=4,

PB=8

to find the dilation ratio, then apply the tangent-length relation to the smaller circle

解答：

由于

PA=4

且

AB=4

，有

PB=8

。因此，以

P

为中心、把小圆映到大圆的位似比为

2

。若小圆半径为

r

，则

3r

是其圆心到

P

的距离：两个圆心位于同一条射线上，它们到

P

的距离之比为

2

，且两圆心间的距离为

r+2r=3r

。对由

P

、小圆圆心和

A

构成的直角三角形应用勾股定理，

PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2\text{。}

所以

16=8r^2

，从而

r^2=2

，面积为

2\pi

。

因此正确答案为 B。

Since

PA=4

and

AB=4,

we have

PB=8.

The homothety centered at

P

taking the smaller circle to the larger therefore has ratio

2.

If the smaller radius is

r,

its center is

3r

from

P:

the centers are on the same ray, their distances from

P

have ratio

2,

and their difference is

r+2r=3r.

Applying the right triangle formed by

P,

the small center, and

A

,

PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2.

Thus

16=8r^2,

so

r^2=2

and the area is

2\pi.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 第 22 题

答案：B

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

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