1963 AMC 12 Problema 26

Question

Forma I. Considera los enunciados

\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}

donde

p,

q,

r

son proposiciones. ¿Cuántos de ellos implican la verdad de

(p\to q)\to r

?

Forma II. Considera los enunciados

(1)

p

y

r

son verdaderos y

q

es falso,

(2)

r

es verdadero y

p

y

q

son falsos,

(3)

p

es verdadero y

q

y

r

son falsos,

(4)

q

y

r

son verdaderos y

p

es falso. ¿Cuántos de ellos implican la verdad del enunciado «

r

está implicado por la afirmación de que

p

implica

q

»?

Form I. Consider the statements

\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}

where

p,

q,

r

are propositions. How many of these imply the truth of

(p\to q)\to r?

Form II. Consider the statements

(1)

p

and

r

are true and

q

is false,

(2)

r

is true and

p

and

q

are false,

(3)

p

is true and

q

and

r

are false,

(4)

q

and

r

are true and

p

is false. How many of these imply the truth of the statement “

r

is implied by the statement that

p

implies

q

”?

0

1

2

3

4

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Una implicación es falsa solo cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso

An implication is false only when its antecedent is true and its consequent is false

Pista grande:

Evalúa primero

p\to q

en cada una de las cuatro asignaciones

Evaluate

p\to q

first in each of the four assignments

Solución:

En los casos

(1)

y

(3),

la proposición

p\to q

es falsa, así que la implicación exterior es verdadera. En los casos

(2)

y

(4),

la proposición

p\to q

es verdadera, pero

r

también es verdadera, por lo que la implicación exterior vuelve a ser verdadera. Los cuatro enunciados la implican.

Así, la respuesta correcta es E.

In cases

(1)

and

(3),

p\to q

is false, so the outer implication is true. In cases

(2)

and

(4),

p\to q

is true, but

r

is also true, so the outer implication is again true. All four statements imply it.

Thus, the correct answer is E.