1967 AMC 12 Problema 20

Question

Se inscribe un círculo en un cuadrado de lado

m,

luego un cuadrado en ese círculo, después un círculo en este último cuadrado, y así sucesivamente. Si

S_n

es la suma de las áreas de los primeros

n

círculos así inscritos, entonces, cuando

n

crece sin límite,

S_n

se aproxima a:

A circle is inscribed in a square of side

m,

then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If

S_n

is the sum of the areas of the first

n

circles so inscribed, then, as

n

grows beyond all bounds,

S_n

approaches:

\dfrac{\pi m^2}{2}

\dfrac{3\pi m^2}{8}

\dfrac{\pi m^2}{3}

\dfrac{\pi m^2}{4}

\dfrac{\pi m^2}{8}

El primer círculo tiene área

\frac{\pi m^2}{4}

The first circle has area

\frac{\pi m^2}{4}

Cada círculo sucesivo tiene la mitad del área del círculo anterior

Each successive circle has half the preceding circle’s area

El primer círculo tiene área

\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.

Cada cuadrado inscrito reduce el cuadrado del radio del círculo siguiente, y por tanto su área, por un factor de

\frac{1}{2}.

Así, la suma límite es

\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first circle has area

\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.

Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of

\frac{1}{2}.

Thus the limiting sum is

\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 20 en otros años