1968 AMC 12 Problema 20

Question

Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de

n

lados están en progresión aritmética. Si la diferencia común es

5^\circ

y el ángulo mayor es

160^\circ,

entonces

n

es igual a:

The measures of the interior angles of a convex polygon of

n

sides are in arithmetic progression. If the common difference is

5^\circ

and the largest angle is

160^\circ,

then

n

equals:

9

10

12

16

32

Expresa el ángulo menor como

160-5(n-1)

Write the smallest angle as

160-5(n-1)

Iguala la suma de la progresión aritmética a

180(n-2)

Equate the arithmetic-series sum to

180(n-2)

El ángulo menor es

160-5(n-1).

La suma de los ángulos es

\frac n2

multiplicado por

320-5(n-1),

y es igual a

180(n-2).

Esto se simplifica a

\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}

Por tanto,

n=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The smallest angle is

160-5(n-1).

The angle sum is

\frac n2

times

320-5(n-1),

and it equals

180(n-2).

This simplifies to

\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}

Thus

n=9.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 20 en otros años