1969 AMC 12 Problema 19

Question

El número de pares ordenados distintos

(x,y),

donde

x

y

y

son enteros positivos que satisfacen la ecuación

x^4y^4-10x^2y^2+9=0,

es:

The number of distinct ordered pairs

(x,y),

where

x

and

y

have positive integral values satisfying the equation

x^4y^4-10x^2y^2+9=0,

is:

0

3

4

12

infinito

infinite

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica factorización conteo de pares

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Trata

x^2y^2

como una sola variable

Treat

x^2y^2

as one variable

Pista grande:

Después de factorizar, convierte los valores posibles en condiciones sobre el producto entero positivo

xy

After factoring, translate the possible values into conditions on the positive integer product

xy

Solución:

Sea

u=x^2y^2.

Entonces,

\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}

Como

x

e

y

son enteros positivos, esto significa que

xy=1

o

xy=3.

Los pares son

(1,1),

(1,3)

y

(3,1),

para un total de

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

u=x^2y^2.

Then

\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}

Since

x

and

y

are positive integers, this means

xy=1

or

xy=3.

The pairs are

(1,1),

(1,3),

and

(3,1),

for a total of

3.

Therefore, the correct answer is B.