1970 AMC 12 Problema 17

Question

Si

r\gt0,

entonces para todos

p

y

q

tales que

pq\ne0

y

pr\gt qr,

se cumple:

If

r\gt0,

then for all

p

and

q

such that

pq\ne0

and

pr\gt qr,

we have:

-p\gt-q

-p\gt q

1\gt-\frac{q}{p}

1\lt \frac{q}{p}

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad contraejemplo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Como

r\gt0,

la hipótesis solo implica

p\gt q

Because

r\gt0,

the hypothesis gives only

p\gt q

Pista grande:

Prueba las afirmaciones restantes con valores positivos y negativos de

p,q

Test the remaining claims with both positive and negative choices of

p,q

Solución:

Como

r\gt0,

la hipótesis equivale a

p\gt q.

Entonces

-p\lt-q,

así que A es falsa. Al tomar

(p,q)=(2,1)

, B y D son falsas. Al tomar

(p,q)=(1,-2)

, C es falsa porque

-\frac{q}{p}=2.

Por lo tanto, ninguna de A-D se deduce en todos los casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

r\gt0,

the hypothesis is equivalent to

p\gt q.

Then

-p\lt-q,

so A is false. Taking

(p,q)=(2,1)

makes B and D false. Taking

(p,q)=(1,-2)

makes C false because

-\frac{q}{p}=2.

Thus none of A-D follows in every case.

Therefore, the correct answer is E.