1971 AMC 12 Problema 19

Question

Si la recta

y=mx+1

corta a la elipse

x^2+4y^2=1

exactamente una vez, entonces el valor de

m^2

es:

If the line

y=mx+1

intersects the ellipse

x^2+4y^2=1

exactly once, then the value of

m^2

is:

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{4}{5}

\frac{5}{6}

Sustituye la ecuación de la recta en la de la elipse

Substitute the line equation into the ellipse

Una sola intersección significa que el discriminante de la cuadrática resultante es cero

Exactly one intersection means the resulting quadratic has discriminant zero

La sustitución da

(1+4m^2)x^2+8mx+3=0.

La tangencia exige que el discriminante sea cero:

64m^2-12(1+4m^2)=0.

Por tanto,

16m^2=12,

y así

m^2=\frac{3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives

(1+4m^2)x^2+8mx+3=0.

Tangency requires its discriminant to vanish:

64m^2-12(1+4m^2)=0.

Thus

16m^2=12,

so

m^2=\frac{3}{4}.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 19 en otros años