1972 AMC 12 Problema 1

Question

Las longitudes, en pulgadas, de los tres lados de cada uno de cuatro triángulos

\mathrm{I},

\mathrm{II},

\mathrm{III}

y

\mathrm{IV}

son las siguientes:

\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}

De estos cuatro triángulos, los únicos que son rectángulos son:

The lengths in inches of the three sides of each of four triangles

\mathrm{I},

\mathrm{II},

\mathrm{III},

and

\mathrm{IV}

are as follows:

\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}

Of these four given triangles, the only right triangles are:

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

\mathrm{I}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I}

and

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{IV}

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Compara el cuadrado del lado más largo de cada triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados

Compare the square of each longest side with the sum of the squares of the other two sides

Pista grande:

Elimina las fracciones de las longitudes de los triángulos

\mathrm{II}

y

\mathrm{IV}

antes de comparar

Clear the halves in triangles

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

before comparing

Solución:

Para los triángulos

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III},

las igualdades pertinentes son

\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned}

Para

\mathrm{IV},

\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned}

Estos valores no son iguales. Por lo tanto, exactamente

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

son triángulos rectángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For triangles

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III},

the relevant equalities are

\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned}

For

\mathrm{IV},

\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned}

These values are unequal. Thus precisely

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

are right triangles.

Therefore, the correct answer is D.