1974 AMC 12 Problema 16

Question

Un círculo de radio

r

está inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, y un círculo de radio

R

está circunscrito al triángulo. Entonces

\frac{R}{r}

es igual a

A circle of radius

r

is inscribed in a right isosceles triangle, and a circle of radius

R

is circumscribed about the triangle. Then

\frac{R}{r}

equals

1+\sqrt2

\frac{2+\sqrt2}{2}

\frac{\sqrt2-1}{2}

\frac{1+\sqrt2}{2}

2(2-\sqrt2)

Sea

a

la longitud de cada cateto y expresa ambos radios en términos de

a

Let each leg have length

a

and express both radii in terms of

a

En un triángulo rectángulo, el circunradio es la mitad de la hipotenusa; el inradio es

\frac{a+a-a\sqrt2}{2}

For a right triangle, the circumradius is half the hypotenuse; the inradius is

\frac{a+a-a\sqrt2}{2}

Con ambos catetos de longitud

a

e hipotenusa

a\sqrt2,

\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto,

\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

With both legs of length

a

and hypotenuse

a\sqrt2,

\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

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