1976 AMC 12 Problema 19

Question

Un polinomio

p(x)

deja residuo tres al dividirse por

x-1

y residuo cinco al dividirse por

x-3.

El residuo al dividir

p(x)

por

(x-1)(x-3)

es

A polynomial

p(x)

has remainder three when divided by

x-1

and remainder five when divided by

x-3.

The remainder when

p(x)

is divided by

(x-1)(x-3)

is

x-2

x+2

2

8

15

Respuesta: B

Conceptos:polinomio ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

El residuo buscado tiene grado menor que dos, así que escríbelo como

ax+b

The desired remainder has degree less than two, so write it as

ax+b

Pista grande:

Usa el teorema del residuo en

x=1

y

x=3

Use the remainder theorem at

x=1

and

x=3

Solución:

Sea

r(x)=ax+b

el residuo. Como

p(1)=3

y

p(3)=5,

tenemos

a+b=3,

y

3a+b=5.

Por tanto,

a=1,

y

b=2,

así que el residuo es

x+2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the remainder be

r(x)=ax+b.

Since

p(1)=3

and

p(3)=5,

we have

a+b=3,

and

3a+b=5.

Thus

a=1,

and

b=2,

so the remainder is

x+2.

Therefore, the correct answer is B.