1976 AMC 12 Problema 20

Question

Sean

a,

b

y

x

números reales positivos distintos de uno. Entonces

\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}

Let

a,

b

and

x

be positive real numbers distinct from one. Then

\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}

para todos los valores de

a,

b

y

x

for all values of

a,

b

and

x

si y solo si

a=b^2

if and only if

a=b^2

si y solo si

b=a^2

if and only if

b=a^2

si y solo si

x=ab

if and only if

x=ab

ninguna de estas

none of these

Pasa todos los términos a un lado y factoriza la cuadrática en los dos logaritmos

Move all terms to one side and factor the quadratic in the two logarithms

Mediante el cambio de base, traduce la ecuación de cada factor a una relación entre las bases

Translate each factor equation into a relation between the bases using change of base

Al factorizar se obtiene

\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}

Como

x\ne1,

el cambio de base muestra que el primer factor se anula cuando

a=b^2,

mientras que el segundo se anula cuando

a^3=b^2.

Por ello, la ecuación se cumple bajo cualquiera de dos condiciones, y ninguna afirmación «si y solo si» de la lista describe su unión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives

\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}

Since

x\ne1,

change of base shows that the first factor vanishes when

a=b^2,

while the second vanishes when

a^3=b^2.

Thus the equation holds under either of two conditions, and no listed “if and only if” statement describes their union.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 20 en otros años