1977 AMC 12 Problema 21

Question

¿Para cuántos valores del coeficiente

a

tienen las ecuaciones

\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}

una solución real común?

For how many values of the coefficient

a

do the equations

\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}

have a common real solution?

0

1

2

3

infinitos

infinitely many

Resta las dos ecuaciones para obtener una condición factorizada

Subtract the two equations to obtain a factored condition

Examina por separado los casos

a=-1

y

x=-1

Check separately the cases

a=-1

and

x=-1

Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene

\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}

Si

a=-1,

la ecuación común es

x^2-x+1=0,

que no tiene raíces reales. En caso contrario,

x=-1,

y al sustituir en

x^2-x-a=0

se obtiene

a=2.

Este valor funciona, así que exactamente un valor de

a

cumple la condición.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Subtracting the second equation from the first gives

\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}

If

a=-1,

the common equation is

x^2-x+1=0,

which has no real roots. Otherwise

x=-1,

and substitution into

x^2-x-a=0

gives

a=2.

This value works, so exactly one value of

a

qualifies.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 21 en otros años