1977 AMC 12 Problema 26
Intenta el Problema 26 del 1977 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1977 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
26.
Sean y las longitudes de los lados y respectivamente, del cuadrilátero Si es el área de entonces
Let and be the lengths of sides and respectively, of quadrilateral If is the area of then
si y
solo si es convexo
if
and only if is convex
si y
solo si es un rectángulo
if and
only if is a rectangle
si
y solo si es un rectángulo
if
and only if is a rectangle
si
y solo si es un paralelogramo
if
and only if is a parallelogram
si
y solo si es un paralelogramo
if
and only if is a parallelogram
Respuesta: B
Pista pequeña:
Divide el cuadrilátero por cada diagonal y acota cada seno por
Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by
Pista grande:
Combina las dos cotas de área y analiza cuándo todas se alcanzan con igualdad
Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality
Solución:
Al dividir por la diagonal y usar se obtiene Al dividir por se obtiene de modo análogo Estas cotas siguen siendo válidas para un cuadrilátero no convexo al tomar la diferencia apropiada de las áreas de los triángulos. Al sumarlas se obtiene o bien Para que haya igualdad, las cuatro cotas de los senos deben ser igualdades, por lo que los cuatro ángulos son rectos; recíprocamente, un rectángulo da la igualdad. Así, la igualdad se cumple exactamente para los rectángulos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Splitting along diagonal and using gives Splitting along similarly gives These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields or Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.
Therefore, the correct answer is B.
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