1977 AMC 12 Problema 6

Question

Si

x,

y

y

2x+\frac y2

no son cero, entonces

\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]

es igual a

If

x,

y

and

2x+\frac y2

are not zero, then

\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]

equals

1

xy^{-1}

x^{-1}y

(xy)^{-1}

ninguna de las anteriores

none of these

Reescribe el recíproco exterior como una sola fracción

Rewrite the outside reciprocal using a single fraction

Suma los dos recíprocos entre corchetes usando un denominador común

Combine the two reciprocals inside the brackets over a common denominator

Tenemos

\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy}. \end{aligned}

Su producto es

\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\begin{aligned} \left(2x+\frac y2\right)^{-1} &=\frac2{4x+y},\\ (2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1} &=\frac1{2x}+\frac2y\\ &=\frac{y+4x}{2xy}. \end{aligned}

Their product is

\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 6 en otros años