1979 AMC 12 Problema 20

Question

Si

a=\frac12

y

(a+1)(b+1)=2,

entonces la medida en radianes de

\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b

es

If

a=\frac12

and

(a+1)(b+1)=2,

then the radian measure of

\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b

equals

\frac\pi2

\frac\pi3

\frac\pi4

\frac\pi5

\frac\pi6

Primero despeja

b

en la ecuación de producto dada

First solve the given product equation for

b

Usa la fórmula de adición de tangentes para los dos ángulos positivos de tangente inversa

Use the tangent addition formula on the two positive inverse-tangent angles

Al sustituir

a=\frac{1}{2}

, se obtiene

b=\frac{1}{3}.

Si

u=\operatorname{Arctan}a

y

v=\operatorname{Arctan}b,

entonces

\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}

Ambos ángulos son positivos y su suma es menor que

\frac{\pi}{2},

de modo que

u+v=\frac{\pi}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substituting

a=\frac{1}{2}

gives

b=\frac{1}{3}.

If

u=\operatorname{Arctan}a

and

v=\operatorname{Arctan}b,

then

\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}

Both angles are positive and their sum is less than

\frac{\pi}{2},

so

u+v=\frac{\pi}{4}.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 20 en otros años