1980 AMC 12 Problema 17

Question

Dado que

i^2=-1,

¿para cuántos enteros

n

es

(n+i)^4

un entero?

Given that

i^2=-1,

for how many integers

n

is

(n+i)^4

an integer?

ninguno

none

1

2

3

4

Expande

(n+i)^4

y aísla su parte imaginaria

Expand

(n+i)^4

and isolate its imaginary part

Un entero tiene parte imaginaria cero; resuelve la factorización cúbica resultante

An integer has imaginary part zero, so solve the resulting cubic factorization

La expansión da

\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}

La parte imaginaria se anula exactamente cuando

n=0,

n=1,

o

n=-1.

Para cada uno de estos tres enteros, la parte real es un entero, así que hay

3

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expansion gives

\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}

The imaginary part vanishes exactly when

n=0,

n=1,

or

n=-1.

For each of these three integers the real part is an integer, so there are

3

values.

Therefore, the correct answer is D.

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