1984 AMC 12 Problema 20

Question

El número de soluciones distintas de la ecuación

\left|x-|2x+1|\right|=3

es

The number of distinct solutions of the equation

\left|x-|2x+1|\right|=3

is

0

1

2

3

4

Separa el valor absoluto exterior en dos ecuaciones

Split the outer absolute value into two equations

En cada ecuación, aísla

|2x+1|

antes de comprobar sus dos casos

For each equation, isolate

|2x+1|

before checking its two cases

Si

x-|2x+1|=3,

entonces

|2x+1|=x-3,

lo cual exige

x\ge3

y no produce ninguna solución. Si

x-|2x+1|=-3,

entonces

|2x+1|=x+3.

Sus dos casos lineales dan

x=2

y

x=-\frac{4}{3},

ambos válidos. Así, hay

2

soluciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

x-|2x+1|=3,

then

|2x+1|=x-3,

which requires

x\ge3

and yields no solution. If

x-|2x+1|=-3,

then

|2x+1|=x+3.

Its two linear cases give

x=2

and

x=-\frac{4}{3},

both valid. Thus there are

2

distinct solutions.

Therefore, the correct answer is C.

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