1972 AMC 12 Problema 25

Question

En un círculo está inscrito un cuadrilátero cuyos lados consecutivos miden

25,

39,

52,

y

60

. El diámetro de este círculo mide:

Inscribed in a circle is a quadrilateral having sides of lengths

25,

39,

52,

and

60

taken consecutively. The diameter of this circle has length:

62

63

65

66

69

Observa dos ternas pitagóricas escaladas entre las cuatro longitudes

Notice two scaled Pythagorean triples among the four side lengths

El par

25,60

y el par

39,52

comparten la misma hipotenusa posible

The

25,60

pair and the

39,52

pair share the same possible hypotenuse

Los lados consecutivos pueden rotularse

\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}

Como

25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,

los triángulos

ABD

y

BCD

son rectángulos y tienen hipotenusa común

BD=65.

Su unión es el cuadrilátero cíclico, y la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de su circunferencia circunscrita. Así, el diámetro es

65.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The consecutive sides may be labeled

\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}

Since

25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,

triangles

ABD

and

BCD

are right triangles with common hypotenuse

BD=65.

Their union is the cyclic quadrilateral, and a right triangle’s hypotenuse is a diameter of its circumcircle. Thus the diameter is

65.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 25 en otros años