1982 AMC 12 Problema 25

Question

La figura adjunta es un mapa de una parte de una ciudad: los rectángulos pequeños son manzanas y los espacios entre ellos son calles. Cada mañana, un estudiante camina desde la intersección

A

hasta la intersección

B,

siempre por las calles indicadas y siempre hacia el este o hacia el sur. Para variar, en cada intersección donde puede elegir, decide con probabilidad

\frac12

, independientemente de todas las demás decisiones, si va hacia el este o hacia el sur. Halla la probabilidad de que, en una mañana cualquiera, pase por la intersección

C.

The adjoining figure is a map of part of a city: the small rectangles are blocks and the spaces in between are streets. Each morning a student walks from intersection

A

to intersection

B,

always walking along streets shown, always going east or south. For variety, at each intersection where he has a choice, he chooses with probability

\frac12

(independent of all other choices) whether to go east or south. Find the probability that, on any given morning, he walks through intersection

C.

\frac{11}{32}

\frac12

\frac47

\frac{21}{32}

\frac34

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica caminos reticulares probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Llegar a

C

significa dar el tercer paso hacia el este antes del cuarto paso hacia el sur

Reaching

C

means making the third eastward move before the fourth southward move

Pista grande:

Clasifica según la cantidad

i=0,1,2,3

de pasos hacia el sur dados antes del tercer paso hacia el este

Condition on the number

i=0,1,2,3

of south moves made before the third east move

Solución:

Si se dan

i

pasos hacia el sur antes del tercer paso hacia el este, el último paso para llegar a

C

va hacia el este y los

2+i

pasos anteriores contienen dos pasos hacia el este. Por tanto,

\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If

i

south moves occur before the third east move, the final step to

C

is east and the preceding

2+i

steps contain two east moves. Thus

\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.