1954 AMC 12 Problema 25

Question

Las dos raíces de la ecuación

\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}

son

1

y:

The two roots of the equation

\begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned}

are

1

and:

\dfrac{b(c-a)}{a(b-c)}

\dfrac{a(b-c)}{c(a-b)}

\dfrac{a(b-c)}{b(c-a)}

\dfrac{c(a-b)}{a(b-c)}

\dfrac{c(a-b)}{b(c-a)}

Usa el producto de las raíces en lugar de resolver la cuadrática

Use the product of the roots rather than solving the quadratic

El producto es el término constante dividido entre el coeficiente principal

The product is the constant coefficient divided by the leading coefficient

Por las fórmulas de Vieta, el producto de las dos raíces es

\frac{c(a-b)}{a(b-c)}.

Como una raíz es

1,

la otra es igual a este producto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas, the product of the two roots is

\frac{c(a-b)}{a(b-c)}.

Since one root is

1,

the other root equals this product.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 25 en otros años