1986 AMC 12 Problema 26

Question

Se desea construir un triángulo rectángulo en el plano coordenado de modo que sus catetos sean paralelos a los ejes

x

e

y,

y que las medianas a los puntos medios de los catetos estén sobre las rectas

y=3x+1

y

y=mx+2.

El número de constantes distintas

m

para las cuales existe tal triángulo es

It is desired to construct a right triangle in the coordinate plane so that its legs are parallel to the

x

and

y

axes and so that the medians to the midpoints of the legs lie on the lines

y=3x+1

and

y=mx+2.

The number of different constants

m

for which such a triangle exists is

0

1

2

3

más de

3

more than

3

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica median pendiente construction

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Coloca un triángulo rectángulo con catetos paralelos a los ejes en coordenadas convenientes y calcula las pendientes de las dos medianas a sus catetos

Place an axis-aligned right triangle at convenient coordinates and compute the slopes of the two medians to its legs

Pista grande:

Las dos pendientes difieren por un factor de

4;

recuerda que cualquiera de las rectas dadas podría ser la de mayor pendiente

The two slopes differ by a factor of

4;

remember that either given line could be the steeper one

Solución:

Coloca el vértice del ángulo recto en

(0,0)

y los otros vértices en

(a,0)

y

(0,b).

Las medianas a los catetos tienen pendientes

-\frac{2b}{a}

y

-\frac{b}{2a},

cuya razón es

4.

Por tanto, si una mediana tiene pendiente

3,

la otra puede tener pendiente

12

o

\frac{3}{4}.

Ambas posibilidades se dan: elige un triángulo con el par de pendientes requerido y traslada su centroide a la intersección de las dos rectas especificadas. Así, hay dos valores posibles de

m.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Place the right-angle vertex at

(0,0)

and the other vertices at

(a,0)

and

(0,b).

The medians to the legs have slopes

-\frac{2b}{a}

and

-\frac{b}{2a},

whose ratio is

4.

Therefore, if one median has slope

3,

the other can have slope

12

or

\frac{3}{4}.

Both occur: choose a triangle with the required pair of slopes and translate its centroid to the intersection of the two specified lines. Thus there are two possible values of

m.

Therefore the correct answer is C.