1986 AMC 12 Problema 27

Question

En la figura adjunta,

AB

es un diámetro del círculo,

CD

es una cuerda paralela a

AB,

y

AC

corta a

BD

en

E,

con

\angle AED=\alpha.

La razón entre el área de

\triangle CDE

y la de

\triangle ABE

es

In the adjoining figure,

AB

is a diameter of the circle,

CD

is a chord parallel to

AB,

and

AC

intersects

BD

at

E,

with

\angle AED=\alpha.

The ratio of the area of

\triangle CDE

to that of

\triangle ABE

is

\cos\alpha

\sin\alpha

\cos^2\alpha

\sin^2\alpha

1-\sin\alpha

Respuesta: C

Conceptos:círculo intersecting chords área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Expresa el área de cada triángulo usando los dos lados que se encuentran en

E

Express each triangle’s area using the two sides meeting at

E

Pista grande:

Usa el teorema de las cuerdas que se cortan; después traza

AD

y usa el triángulo rectángulo creado por el diámetro

AB

Use the intersecting-chords theorem, then draw

AD

and use the right triangle created by diameter

AB

Solución:

Los triángulos usan el mismo ángulo en

E,

así que

\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}.

Las cuerdas que se cortan dan

AE\cdot CE=BE\cdot DE,

de modo que esta razón se convierte en

(\frac{DE}{AE})^2.

Traza

AD.

Como

AB

es un diámetro,

\angle ADB=90^\circ,

y

D,E,B

son colineales. Por tanto, el triángulo

ADE

es rectángulo en

D,

y

\frac{DE}{AE}=\cos\alpha.

La razón pedida es

\cos^2\alpha.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles use the same angle at

E,

so

\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}.

Intersecting chords give

AE\cdot CE=BE\cdot DE,

so this ratio becomes

(\frac{DE}{AE})^2.

Draw

AD.

Since

AB

is a diameter,

\angle ADB=90^\circ,

and

D,E,B

are collinear. Thus triangle

ADE

is right at

D,

and

\frac{DE}{AE}=\cos\alpha.

The required ratio is

\cos^2\alpha.

Thus the correct answer is C.