1987 AMC 12 Problema 19

Question

¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a

\sqrt{65}-\sqrt{63}

?

Which of the following is closest to

\sqrt{65}-\sqrt{63}?

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

Racionaliza la diferencia de las dos raíces cuadradas

Rationalize the difference of the two square roots

Compara

\sqrt{65}+\sqrt{63}

con

16

para decidir de qué lado de

0.125

queda el resultado

Compare

\sqrt{65}+\sqrt{63}

with

16

to decide which side of

0.125

the result lies on

Al racionalizar obtenemos

\sqrt{65}-\sqrt{63}=\frac2{\sqrt{65}+\sqrt{63}}.

El denominador es menor que

16,

porque su cuadrado es

128+2\sqrt{4095}\lt256.

Por tanto, el valor es mayor que

\frac{2}{16}=0.125.

Además, cada radical es mayor que

7.5,

así que el valor es menor que

\frac{2}{15}<0.134.

Por consiguiente, está más cerca de

0.13

que de cualquier otra opción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rationalizing gives

\sqrt{65}-\sqrt{63}=\frac2{\sqrt{65}+\sqrt{63}}.

The denominator is less than

16,

because its square is

128+2\sqrt{4095}\lt256.

Thus the value is greater than

\frac{2}{16}=0.125.

Also each radical exceeds

7.5,

so the value is less than

\frac{2}{15}<0.134.

It is therefore closer to

0.13

than to any other choice.

Thus the correct answer is B.

El Problema 19 en otros años