1990 AMC 12 Problema 20

Question

En la figura,

ABCD

es un cuadrilátero con ángulos rectos en

A

y

C.

Los puntos

E

y

F

están sobre

\overline{AC},

y

\overline{DE}

y

\overline{BF}

son perpendiculares a

\overline{AC}.

Si

AE=3,

DE=5,

y

CE=7,

entonces

BF=

In the figure,

ABCD

is a quadrilateral with right angles at

A

and

C.

Points

E

and

F

are on

\overline{AC},

and

\overline{DE}

and

\overline{BF}

are perpendicular to

\overline{AC}.

If

AE=3,

DE=5,

and

CE=7,

then

BF=

3.6

4

4.2

4.5

5

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica perpendicular lines sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Coloca

\overline{AC}

sobre el eje

x

con

A=(0,0)

Place

\overline{AC}

on the

x

-axis with

A=(0,0)

Pista grande:

Usa productos escalares para los ángulos rectos en

A

y

C

Use dot products for the right angles at

A

and

C

Solución:

Toma

A=(0,0),

E=(3,0),

C=(10,0),

D=(3,-5),

y

B=(f,h),

donde

h=BF.

Como

AB\perp AD,

(f,h)\cdot(3,-5)=0,

así que

3f=5h.

Como

BC\perp DC,

(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0,

así que

7f+5h=70.

La sustitución da

f=7

y

h=\frac{21}{5}=4.2.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Set

A=(0,0),

E=(3,0),

C=(10,0),

D=(3,-5),

and

B=(f,h),

where

h=BF.

Since

AB\perp AD,

(f,h)\cdot(3,-5)=0,

so

3f=5h.