1991 AMC 12 Problema 20

Question

La suma de todos los números reales

x

tales que

\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}

es

The sum of all real

x

such that

\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}

is

\frac32

2

\frac52

3

\frac72

Respuesta: E

Conceptos:sum of cubes exponential equation factorización

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sea

a=2^x-4

y

b=4^x-2

Set

a=2^x-4

and

b=4^x-2

Pista grande:

Factoriza

a^3+b^3-(a+b)^3

como

-3ab(a+b)

Factor

a^3+b^3-(a+b)^3

as

-3ab(a+b)

Solución:

Sean

a=2^x-4

y

b=4^x-2.

El lado derecho es

(a+b)^3,

así que

a^3+b^3=(a+b)^3

equivale a

ab(a+b)=0.

Los casos dan

2^x=4,

4^x=2,

o

4^x+2^x=6,

cuyas soluciones reales son

x=2,\frac12,

y

1,

respectivamente. Su suma es

2+\frac12+1=\frac72.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

a=2^x-4

and

b=4^x-2.

The right side is

(a+b)^3,

so

a^3+b^3=(a+b)^3

is equivalent to

ab(a+b)=0.

The cases give

2^x=4,

4^x=2,

or

4^x+2^x=6,

whose real solutions are

x=2,\frac12,

and

1,

respectively. Their sum is

2+\frac12+1=\frac72.

Thus the correct answer is E.